Question

已知可行域的外接圆C与轴交于点A₁、A₂，椭圆C₁以线段A₁A₂为短轴，离心率

（Ⅰ）求圆C及椭圆C₁的方程；

（Ⅱ）过椭圆C₁上一点P(不在坐标轴上)向圆C引两条切线PA、PB、A、B为切点，直线AB分别与x轴、y轴交于点M、N．求△MON面积的最小值．（O为原点）．

Answer 1

解析：（Ⅰ）由题意可知，可行域是以及点为顶点的三角形，∵，∴为直角三角形，     ┅┅┅┅┅┅┅2分

∴外接圆C以原点O为圆心，线段A₁A₂为直径，故其方程为．

∵2b=4，∴b=2．又，可得．

∴所求椭圆C₁的方程是．           ┅┅┅┅┅┅┅4分

（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，OA的斜率为，则PA的斜率为，则PA的方程为：化简为：，    

同理PB的方程为                ┅┅┅┅┅┅┅6分

又PA、PB同时过P点，则x₁x₀+y₁y₀=4，x₂x₀+y₂y₀=4，

∴AB的直线方程为：x₀x+y₀y=4               ┅┅┅┅┅┅┅8分

（或者求出以OP为直径的圆，然后求出该圆与圆C的公共弦所在直线方程即为AB的方程）

从而得到、所以   ┅┅8分

当且仅当.           ┅┅┅┅┅┅┅12分

（或者利用椭圆的参数方程、函数求最值等方法求的最大值）