Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面，四边形是菱形，点在线段上.

（1）证明：平面平面；

（2）若，二面角的余弦值为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据菱形的对角线垂直以及直线与平面垂直的性质可证平面，再根据平面与平面垂直的判定定理可证平面平面；

（2）以，为轴，轴，以平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，根据平面的法向量可解得结果.

（1）因为四边形是菱形，所以.

因为平面，所以.

因为，所以平面.

因为平面，所以平面平面.

（2）因为，设，分别以，为轴，轴，以平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，

设，，则，，，，

，，.

设平面的一个法向量为，则，即，

取，则，，则.

设平面的一个法向量为，则，即

取，则，，则.

，因为，所以，所以，

所以.

于是.