Question

4．直角三角形ABC的直角顶点为C，且AC=3cm，BC=4cm，P为斜边AB上一点，PQ平行于AC且交BC于点Q，PM平行于BC且交AC于点M，问点P在边AB何处时，矩形PQCM的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析 先表示出矩形PQCM的面积，再利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：设PM=xcm，PQ=ycm，则$\frac{x}{4}=\frac{3-y}{3}$，∴y=3-$\frac{3}{4}$x，
∴矩形PQCM的面积S=xy=x（3-$\frac{3}{4}$x）=$\frac{4}{3}$•$\frac{3}{4}$x（3-$\frac{3}{4}$x）≤$\frac{4}{3}•\frac{9}{4}$=3，
当且仅当$\frac{3}{4}$x=1-$\frac{3}{4}$x，即x=$\frac{2}{3}$时，矩形PQCM的面积最大，最大面积是4，
此时，AP：AB=1：6．

点评 本题考查比例线段，考查矩形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．