Question

12．如图，边长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁C与BC₁相交于点O．
（1）求证：BC₁∥平面AA₁D₁D；
（2）求证：BC₁⊥平面B₁DC；
（3）求四面体B₁-BDC₁的体积．

Answer 1

分析 （1）根据正方体得出BC₁∥AD₁，再运用判定定理可证明；
（2）由四边形BCC₁B₁是正方形可证，BC₁⊥B₁C，然后可证A₁B₁⊥BC₁，根据线面垂直的平判定定理可证；
（3）利用等体积转换，即可求四面体B₁-BDC₁的体积．

解答 （1）证明：连接D₁A，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，ABC₁D₁是平行四边形
∴BC₁∥AD₁，
∵BC₁?平面AA₁D₁D；AD₁?平面AA₁D₁D，
∴BC₁∥平面AA₁D₁D；
（2）证明：由题意四边形BCC₁B₁是正方形，∴BC₁⊥B₁C，
∵A₁B₁⊥B₁C₁，A₁B₁⊥B₁B，B₁C₁∩B₁B=B₁，
∴A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁
∴A₁B₁⊥BC₁．
又∵B₁C∩A₁B₁=B₁，B₁C?平面A₁B₁CD，A₁B₁?平面A₁B₁CD，
∴BC₁⊥平面A₁B₁CD．
（3）解：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中${S}_{△B{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}B{B}_{1}•{B}_{1}{C}_{1}$=2，
点D到平面BB₁C₁的距离等于D到平面BB₁C₁C的距离为2，
∴${V}_{{B}_{1}-BD{C}_{1}}$=${V}_{D-B{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×2×2$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查空间直线与平面的平行、垂直的判定，考查求四面体B₁-BDC₁的体积，属于中档题．