Question

若

π

4

是函数f（x）=sin2x+acos²x（a∈R且为常数）的零点，则f（x）的最大值是

 

_

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数零点的判定定理

专题：计算题

分析：由f（

π

4

）=sin

π

2

+acos²

π

4

=0，可求得a=-2，于是f（x）=sin2x-2cos²x转化为：f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）-1，从而可求f（x）的最大值．

解答： 解：∵

π

4

是函数f（x）=sin2x+acos²x（a∈R，为常数）的零点，
∴f（

π

4

）=sin

π

2

+acos²

π

4

=0，
∴1+

1

2

a=0，
∴a=-2．
∴f（x）=sin2x-2cos²x
=sin2x-cos2x-1
=

2

sin（2x-

π

4

）-1，
∴f（x）的最大值为

2

-1．
故答案为：

2

-1．

点评：本题考查函数的零点，由f（

π

4

）=0求得a的值是基础，利用辅助角公式转化是关键，属于中档题．