Question

如图ABC-A₁B₁C₁，已知平面平行于三棱锥V-A₁B₁C₁的底面ABC，等边∆ AB₁C所在的平面与底面ABC垂直，且∠ABC=90°，设AC=2a,BC=a.

（1）求证直线B₁C₁是异面直线与A₁C₁的公垂线；

（2）求点A到平面VBC的距离；

（3）求二面角A-VB-C的大小.

Answer 1

解法1：

（Ⅰ）证明：∵平面∥平面，

∴

∴

又∵平面⊥平面，平面∩平面，

∴⊥平面，

∴

∴，

又.

∴为与的公垂线.

（Ⅱ）解法1：过A作于D，

         ∵△为正三角形，

∴D为的中点.

∵BC⊥平面

∴，

又，

∴AD⊥平面，

∴线段AD的长即为点A到平面的距离.

在正△中，.

∴点A到平面的距离为.

解法2：取AC中点O连结，则⊥平面，且=.

由（Ⅰ）知，设A到平面的距离为x，

∴，

即，解得.

即A到平面的距离为.

则

所以，到平面的距离为.

(III)过点作于，连，由三重线定理知

∴∠是二面角的平面角。

在中，

∴

∴。

∴。

所以，二面角的大小为.

解法二：

取中点连,易知底面，过作直线交于。

取为空间直角坐标系的原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系。则。

（I），

∴，

∴。

∴

    又∵

由已知。

，

而∴。

又与显然相交，

∴是的公垂线。

（II）设平面的一个法向量，

  又

  由

取 得

点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值。

，设所求距离为。

       则

             

             

              所以，A到平面VBC的距离为.

（III）设平面的一个法向量                     

由                                                        

取       

∴

二面角为锐角，

所以，二面角的大小为