Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁=A₁C₁，D，E分别是棱BC，CC₁上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B₁C₁的中点，求证：
（1）平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
（2）直线A₁F∥平面ADE；
（3）若A₁B₁=A₁C₁=B₁C₁=AA₁，求二面角D-AE-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）依题意，可证AD⊥平面BCC₁B₁，再利用面面垂直的判定定理即可证得平面ADE⊥平面BCC₁B₁；
（2）A₁B₁=A₁C₁，F为B₁C₁的中点，可证A₁F⊥B₁C₁，进一步可证A₁F⊥平面BCC₁B₁；由（1）知AD⊥平面BCC₁B₁，从而A₁F∥AD，利用线面平行的判定定理即可证得结论；
（3）利用三垂线定理作出二面角D-AE-C的平面角，再计算即可．

解答：证明：（1）因为ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以CC₁⊥平面ABC．
又AD?平面ABC，所以CC₁⊥AD． 又因为AD⊥DE，CC₁，DE?平面BCC₁B₁，CC₁∩DE=E，
所以AD⊥平面BCC₁B₁．
又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC₁B₁．…（4分）
（2）因为A₁B₁=A₁C₁，F为B₁C₁的中点，所以A₁F⊥B₁C₁．
因为CC₁⊥平面A₁B₁C₁，且A₁F?平面A₁B₁C₁，所以CC₁⊥A₁F，
又因为CC₁，B₁C₁?平面BCC₁B₁，CC₁∩B₁C₁=C₁，所以A₁F⊥平面BCC₁B₁．
由（1）知AD⊥平面BCC₁B₁，所以A₁F∥AD．
又AD?平面ADE，A₁F?平面ADE，所以A₁F∥平面ADE…（5分）
（3）过点D作DP⊥AC于P，过点P作PM⊥AE于M，连接DM，则∠PMD即为二面角D-AE-C的平面角．
设A₁B₁=A₁C₁=B₁C₁=AA₁=2，则CD=1，DP=1×sin60°=

3

2

，MP=

3

2

×

5

5

=

3 5

10

，在直角三角形DPM中，
tan∠PMD=

DP

MP

=

3 2

3 5 10

=

15

3

…（5分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查直线与平面平行的判定，考查二面角的平面角及求法，考查分析与作图能力，属于难题．