Question

12．如图，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，连结BM．

（Ⅰ）求证：BM⊥平面ADM；
（Ⅱ）求二面角A-DM-C的余弦值； 
（Ⅲ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥M-ADE的体积为$\frac{{\sqrt{2}}}{12}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AM⊥BM，由此能证明BM⊥平面ADM，
（2）分别取AM，AB的中点O和N，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-DM-C的余弦值．
（3）求出平面ADM的一个法向量，从而点E到平面ADM的距离d=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\sqrt{2}λ$，由此利用体积公式能求出E为BD的中点时，三棱锥M-ADE的体积为$\frac{{\sqrt{2}}}{12}$．

解答 证明：（Ⅰ）∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，
∴AM=BM=$\sqrt{2}$，
∴AM²+BM²=AB²，∴AM⊥BM．
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，
∴BM⊥平面ADM，
解：（2）分别取AM，AB的中点O和N，则ON∥BM，
在（1）中证明BM⊥平面ADM，
∴ON⊥⊥平面ADM，ON⊥AM，ON⊥OD，
∵AD=DM，∴DO⊥AM，
建立空间直角坐标系，如图，
D（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），M（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），C（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
则$\overrightarrow{DM}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{MC}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面CDM的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{m}=-\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{m}=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则y=1，z=-1，即$\overrightarrow{m}$=（1，1，-1），
由题意知$\overrightarrow{n}$=（0，1，0）是平面ADM的法向量，
设二面角A-DM-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角A-DM-C的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（3）D（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），A（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），B（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$，0），
∴$\overrightarrow{DB}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∵E是线段DB上的一个动点，
∴$\overrightarrow{DE}$=$λ\overrightarrow{DB}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}λ$，$\sqrt{2}λ$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$λ），则E（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$λ，$\sqrt{2}λ$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$λ），
∴$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$λ-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}λ$，$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$λ），
$\overrightarrow{n}$=（0，1，0）是平面ADM的一个法向量．
点E到平面ADM的距离d=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\sqrt{2}λ$，
则V_M-ADE=$\frac{1}{3}{S}_{△ADM}•d$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\sqrt{2}$λ=$\frac{\sqrt{2}}{12}$，
解得λ=$\frac{1}{2}$，则E为BD的中点．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法中，考查满足条件的点的位置的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．