Question

若数列{a_n}满足a₁=1，a_n•a_n+1=2ⁿ，则S₂₀₁₂=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件得a₁=1，a₂=2，由已知条件得数列{a_n}的奇数列、偶数列分别成等比数列，由此能求出S₂₀₁₂．

解答： 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n•a_n+1=2ⁿ，n∈N^*
∴n=1时，a₂=2，
∵a_n•a_n+1=2ⁿ，∴n≥2时，a_n•a_n-1=2^n-1，
∴

an+1

an-1

=2，
∴数列{a_n}的奇数列、偶数列分别成等比数列，
∴S₂₀₁₂=

1-21006

1-2

+

2(1-21006)

1-2

=3×2¹⁰⁰⁶-3．
故答案为：3×2¹⁰⁰⁶-3．

点评：本题考查数列的前2012项的和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．