Question

17．已知△ABC中，A（-2，0），B（2，0），AC，AB，BC成等差数列．
（1）求顶点C的轨迹方程；
（2）若AC，BC边上的中线BF与AE的和为9，求△ABC重心G的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的定义，可得顶点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长等于8的椭圆（长轴端点除外）．
（2）BG+AG=$\frac{2}{3}$（BF+AE）=6（定值）＞4，因此，G的轨迹为以A、B为焦点的椭圆，2a′=6，c′=2．

解答 解：（1）∵AC，AB，BC成等差数列，
∴|AC|+|BC|=2|AB|=8＞|AB|，
根据椭圆的定义，可得顶点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长等于8的椭圆（长轴端点除外）．
∵2a=8，2c=4，
∴a=4，c=2，可得b²=a²-c²=12．
因此，顶点C的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1（x≠±4）．
（2）BG=$\frac{2}{3}$BF，AG=$\frac{2}{3}$AE
∴BG+AG=$\frac{2}{3}$（BF+AE）=6（定值）＞4
因此，G的轨迹为以A、B为焦点的椭圆，2a′=6，c′=2
∴a′=3，b′²=5，可得椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1
∵当G点在x轴上时，A、B、C三点共线，不能构成△ABC
∴G的纵坐标不能是0，可得△ABC的重心G的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1（y≠0）

点评 本题给出AC，AB，BC成等差数列，求顶点C的轨迹方程；三角形两条中线长度之和等于定值，求重心G的轨迹方程．着重考查了三角形重心的性质、椭圆的定义与标准方程和轨迹方程的求法等知识，属于中档题．