Question

9．已知函数f（x）=|x-m|和函数g（x）=x|x-m|+m²-7m（m∈R）．
（1）判断f（x）的奇偶性（只写出结论，不需写出过程）；
（2）若方程f（x）=|m|在[-4，+∞）上有两个不同的解，求实数m的取值范围；
（3）若对任意x₁∈（-∞，4]，均存在x₂∈[3，+∞），使得f（x₁）＞g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）讨论m=0，m≠0时，函数f（x）的奇偶性；
（2）解方程f（x）=|m|，解得x=0，或x=2m．由题意可得 2m≥-4，且2m≠0，由此求得实数m的取值范围；
（3）命题等价于任意x₁∈（-∞，4]，任意的x₂∈[3，+∞），f_min（x₁）＞g_min（x₂） 成立，分m＜3、3≤m＜4、4≤m三种情况，分别求出实数m的取值范围再取并集，即得所求．

解答 解：（1）当m=0时，f（x）=|x|为偶函数；
当m≠0时，f（x）=|x-m|为非奇非偶函数．
（2）方程f（x）=|m|，即|x-m|=|m|，解得x=0，或x=2m．
要使方程|x-m|=|m|在[-4，+∞）上有两个不同的解，
需2m≥-4，且2m≠0．解得 m≥-2 且m≠0．
故实数m的取值范围为[-2，0）∪（0，+∞）．
（3）由于对任意x₁∈（-∞，4]，都存在x₂∈[3，+∞），使f（x₁）＞g（x₂）成立，
故有f_min（x₁）＞g_min（x₂）成立．
又函数f（x）=|x-m|=$\left\{\begin{array}{l}{x-m，x≥m}\\{m-x，x＜m}\end{array}\right.$，
故f_min（x₁）=$\left\{\begin{array}{l}{0，m≤4}\\{f（4）=m-4，m＞4}\end{array}\right.$．
又函数g（x）=x|x-m|+m²-7m=$\left\{\begin{array}{l}{x（m-x）+{m}^{2}-7m，x＜m}\\{x（x-m）+{m}^{2}-m，x≥m}\end{array}\right.$，
故g_min（x₂）=$\left\{\begin{array}{l}{g（3）={m}^{2}-10m+9，m＜3}\\{g（m）={m}^{2}-7m，m≥3}\end{array}\right.$．
当m＜3时，有0＞m²-10m+9，解得 1＜m＜3．
当 3≤m＜4，有0＞m²-7m，解得 3≤m＜4．
当4≤m，有m-4＞m²-7m，解得 4≤m＜4+2$\sqrt{3}$．
综上可得，1＜m＜4+2$\sqrt{3}$，
故实数m的取值范围为（1，4+2$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数的性质，方程根的存在性及个数判断，函数最值及其几何意义，属于中档题．