Question

12．数列{a_n}的通项a_n=cos²$\frac{nπ}{3}$-sin²$\frac{nπ}{3}$，其前n项和为S_n，则S₂₀₁₅为（　　）

• A． -1
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由题意可得数列为周期为4的周期数列，计算前4项的值可得．

解答 解：∵a_n=cos²$\frac{nπ}{3}$-sin²$\frac{nπ}{3}$=cos$\frac{2nπ}{3}$，$\frac{2π}{\frac{2π}{3}}$=3，∴函数y=cos$\frac{2nπ}{3}$的周期为3，
∴数列a_n=cos$\frac{2nπ}{3}$为周期为3的周期数列，
计算可得a₁=$-\frac{1}{2}$，a₂=-$\frac{1}{2}$，a₃=1，
∴S₂₀₁₅=671×（-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$+1）+（$-\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$）=-1
故选：A．

点评 本题考查数列求和，涉及数列的周期性，属中档题．