Question

5．函数f（x）=p（x-$\frac{1}{x}$），若f（x）≤$\frac{e}{x}$+lnx在[1，e]上恒成立，则实数p的取值范围是（-∞，$\frac{2e}{{e}^{2}-1}$]．

Answer 1

分析 由题意并运用参数分离可得p≤$\frac{e+xlnx}{{x}^{2}-1}$的最小值．令g（x）=$\frac{e+xlnx}{{x}^{2}-1}$（1≤x≤e），求出导数，判断单调性，可得最小值，进而得到p的范围．

解答 解：f（x）≤$\frac{e}{x}$+lnx在[1，e]上恒成立即为
p（x-$\frac{1}{x}$）≤$\frac{e}{x}$+lnx对x∈[1，e]恒成立，
即有p≤$\frac{e+xlnx}{{x}^{2}-1}$的最小值．
令g（x）=$\frac{e+xlnx}{{x}^{2}-1}$（1≤x≤e），
则g′（x）=$\frac{-lnx•{x}^{2}-lnx-1+x（x-2e）}{（{x}^{2}-1）^{2}}$，
由1≤x≤e可得0≤lnx≤1，x-2e＜0，
即有g′（x）＜0，g（x）在[1，e]递减，
则g（x）在[1，e]的最小值为g（e）=$\frac{2e}{{e}^{2}-1}$．
即有p≤$\frac{2e}{{e}^{2}-1}$．
故答案为：（-∞，$\frac{2e}{{e}^{2}-1}$]．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和导数的运用：求单调区间和最值，属于中档题和易错题．