Question

【题目】如图，在平行四边形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成，设为线段的中点．则在翻折过程中，给出如下结论：

①当不在平面内时，平面；

②存在某个位置，使得；

③线段的长是定值；

④当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为．

其中，所有正确结论的序号是______．（请将所有正确结论的序号都填上）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

①取DC的中点N，连接NM、NB，；MN∥A1D，NB∥DE，所以面MNB∥面A1DE，所以MB∥面A1DE；

②用反证法，假设存在某个位置，使DE⊥A1C，在△CDE中，由勾股定理易知，CE⊥DE，再由线面垂直的判定定理可知，DE⊥面A1CE，所以DE⊥A1E，与已知相矛盾；

③由①可知，可得MN、NB和∠MNB均为定值，在△MNB中，由余弦定理可知，MB2＝MN2+NB2﹣2MNNBcos∠MNB，所以线段BM的长是定值；

④当体积最大时，平面平面，可得平面，设外接球球心为,半径为,根据球的性质可知，即可求出半径，计算球的表面积.

①取DC的中点N，连接NM、NB，如图，

则MN∥A1D，NB∥DE，且MN∩NB＝N，A1D∩DE＝D，所以面MNB∥面A1DE，所以MB∥面A1DE，即①正确；

且MN＝＝定值；NB∥DE，且NB＝DE＝定值，所以∠MNB＝∠A1DE＝定值，

②假设存在某个位置，使DE⊥A1C．由AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°可求得DE＝1，，所以CE2+DE2＝CD2，即CE⊥DE，因为A1C∩CE＝C，所以DE⊥面A1CE，因为A1E面A1CE，所以DE⊥A1E，与已知相矛盾，即②错误；

③由①可知，MN∥A1D且MN＝＝定值；NB∥DE，且NB＝DE＝定值，所以∠MNB＝∠A1DE＝定值，由余弦定理得，MB2＝MN2+NB2﹣2MNNBcos∠MNB，所以BM的长为定值，即③正确；

④当平面平面时，三棱锥体积最大，此时因为,是平面与平面的交线，所以平面，设正三角形中心为,棱锥外接球球心为,半径为，则，设与交于，连接，，如图：

易知，，由题意可知为边长为1的等边三角形，,

则有,，

所以，故球的表面积为，即④正确.

故答案为：①③④．