Question

【题目】已知函数，其中e是自然对数的底数.

（1）若，证明：；

（2）若时，都有，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）当时，，利用导数求出函数的单调区间并求出最小值，即可证明；

（2）令，由时，都有，可得在上恒成立，利用导数判断在的单调性，分别讨论和两种情况，即可得到的取值范围.

（1）由题意，当时，，

所以，当时，；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以在时取得极小值，也是最小值.

所以.

（2）令，，

由时，都有，所以在上恒成立.

由，令，

则在上恒成立.

所以在上单调递增，又，

①当时，，

所以在上单调递增，

所以，即，满足题意.

②当时，因为在上单调递增，

所以，

存在，使得当时，，在上单调递减，

所以当时，，这与在上恒成立矛盾.

综上所述，，即实数a的取值范围.