Question

已知抛物线C：（θ∈R）
（I）当θ变化时，求抛物线C的顶点的轨迹E的方程；
（II）已知直线l过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心M，交（I）中轨迹E于A、B两点，若，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）先将抛物线方程然后用θ表示出抛物线的顶点坐标，消去θ，即得抛物线C的顶点P的轨迹E的方程．
（Ⅱ）先求得圆心M（-2，1），由于，所以M是AB的中点，设l的方程为y=k（x+2）+1，代入轨迹E的方程消去y借助于根与系数的关系，利用M是AB的中点，可求直线方程．
解答：解：（I）将抛物线方程配方得，
设抛物线的顶点为p（x，y），则，消去θ得．
故抛物线C的顶点P的轨迹E的方程：．…（5分）
（Ⅱ）由x²+y²+4x-2y=0得圆心M（-2，1），
∵∴M是AB的中点，易得直线l不垂直x 轴，
可设l的方程为y=k（x+2）+1，代入轨迹E的方程得：（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，
∵M是AB的中点，∴，解得k=．
∴直线l的方程为，即8x-9y+25=0…（12分）
点评：本题主要考查参数法求轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，利用联立方程组的方法，属于中档题．