Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上一动点M，设M到抛物线C外一定点A（6，12）的距离为d₁，M到定直线l：x=-p的距离为d₂，若d₁+d₂的最小值为14，则抛物线C的方程为

 

．

Answer 1

分析：结合图形，将d₁+d₂转化为=MA+MF+

p

2

，由图形知，d₁+d₂在M与P′重合时，最小值14，再由两点间距离公式，即可得到p的值，继而得到抛物线C的方程．

解答：解：由于抛物线C：y²=2px（p＞0）上一动点M，如图示，
则M到抛物线的焦点F（

p

2

，0）的距离等于M到准线：x=-

1

2

p的距离，
又由于M到定直线l：x=-p的距离为M到准线：x=-

1

2

p的距离与

p

2

的和，
则d₂=MQ=MF+

p

2

，
故d₁+d₂=MA+MF+

p

2

的最小值为14，
由图知，当M与P′重合时，取最小值14，
则14=AF+

p

2

=

(6- p 2 )2+122

+

p

2

，解得p=2，
则抛物线C的方程为y²=4x．
故答案为：y²=4x．

点评：本题着重考查了抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．