Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）过点A（1，-2）
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线l过定点（-2，1），斜率为k，当k取何值时，直线l与抛物线C只有一个公共点．

Answer 1

分析：（1）将（1，-2）代入y²=2px，得p=2，由此能求出抛物线C的方程．
（2）由

y=kx+2k+1 y2=4x

，得：ky²-4y+4（2k+1）=0，分类讨论能求出当k=0，或k=-1，或k=

1

2

时，直线l与抛物线C只有一个公共点．

解答：解：（1）将（1，-2）代入y²=2px，
得（-2）²=2p•1，
所以p=2；
故所求的抛物线C的方程为y²=4x．
（2）由

y=kx+2k+1 y2=4x

，
得：ky²-4y+4（2k+1）=0，
①当k=0时，y=1代入y²=4x，得x=

1

4

，
这时直线l与抛物线C相交，只有一个公共点(

1

4

，1)；
②当k≠0时，△=16-16k（2k+1）=0，
解得k=-1，或k=

1

2

，
此时直线l与抛物线C相切，只有一个公共点
综上，当k=0，或k=-1，或k=

1

2

时，直线l与抛物线C只有一个公共点．

点评：本题考查抛物线方程的求法，探索直线与抛物线只有一个交点时直线的斜率．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．