题目内容
定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）=-f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2，当-1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…f（2013）=（ ）
分析：由f（x+3）=-f（x），可得函数的周期性，然后利用函数的周期性进行求值转化．
解答：解：∵f（x+3）=-f（x），
∴f（x+6）=f（x），
即函数f（x）是周期为6的周期函数．
当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2，当-1≤x＜3时，f（x）=x．
∴f（-3）=-1，f（-2）=0，f（-1）=-1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，
∴f（-3）+f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）=-1+0-1+0+1+2=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…f（2013）=335×[f（-3）+f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）]+f（2011）+f（2012）+f（2013）
=335+f（1）+f（2）+f（3）=335+1+2-1=337，
故选：B．
∴f（x+6）=f（x），
即函数f（x）是周期为6的周期函数．
当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2，当-1≤x＜3时，f（x）=x．
∴f（-3）=-1，f（-2）=0，f（-1）=-1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，
∴f（-3）+f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）=-1+0-1+0+1+2=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…f（2013）=335×[f（-3）+f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）]+f（2011）+f（2012）+f（2013）
=335+f（1）+f（2）+f（3）=335+1+2-1=337，
故选：B．
点评：本题主要考查函数的求值问题，利用条件得到函数的周期性是解决关键，利用函数的周期性进行化简，是解决本题的技巧．
练习册系列答案
名校课堂系列答案
相关题目