Question

已知函数，．

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若恒成立，求实数的取值范围；

（3）设，若对任意的两个实数满足，总存在，使得成立，证明：．

Answer 1

解（1）当时，函数，

则．

当时，，当时，1，

则函数的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，．………………4分

（2）恒成立，即恒成立，整理得恒成立．

设，则，令，得．当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此当时，取得最大值1，因而．

（3），．

因为对任意的总存在，使得成立，

所以，   即，

即

．

设，其中，则，因而在区间（0，1）上单调递增，，又．

所以，即．