Question

在△ABC中，

m

=（cos

C

2

，sin

C

2

），

n

=（cos

C

2

，-sin

C

2

），且

m

与

n

的夹角是

π

3

．
（1）求角C；
（2）已知c=

7

2

，三角形的面积S=

3 3

2

，求a+b．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量数量积的坐标运算和向量的夹角公式即可得出；
（2）利用三角形的面积计算公式、余弦定理即可得出．

解答： 解：（1）∵

m

=（cos

C

2

，sin

C

2

），

n

=（cos

C

2

，-sin

C

2

），
∴

m

•

n

=cos2

C

2

-sin2

C

2

=cosC．
|

m

|=

cos2 C 2 +sin2 C 2

=1，同理可得|

n

|=1．
∵

m

与

n

的夹角是

π

3

，
∴cos

π

3

=

m • n

| m |• |n|

=

cosC

1×1

，
∴cosC=

1

2

，
∵C∈（0，π），∴C=

π

3

．
（2）∵三角形的面积S=

3 3

2

，∴

1

2

absin

π

3

=

3 3

2

，化为ab=6．
由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，
∴

49

4

=（a+b）²-2ab-ab=（a+b）²-3×6，
解得a+b=

11

2

．

点评：本题考查了向量数量积的坐标运算、向量的夹角公式、三角形的面积计算公式、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．