Question

已知动圆过定点，且与直线相切，其中.

（I）求动圆圆心的轨迹的方程；

（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当，变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标

Answer 1

：（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：

即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为

（II）如图，设，，由题意得（否则）且，所以直线的斜率存在，设其方程为，

显然，将与联立消去，

得

由韦达定理知              (*)

1*    当时，即时，

∴，，

∴

由（*）式知：，∴

因此直线的方程可表示为：，即，

∴直线恒过定点

2*  当时，由，得

    

     

将（*）式代入上式整理化简，得：

，∴

此时，直线的方程可表示为：

即

∴直线恒过定点

∴由1*、2*知，当时，直线恒过定点，

当时直线恒过定点.