Question

（本小题满分15分） 已知动圆过定点，且与直线相切，椭圆 的对称轴为坐标轴，一个焦点是，点在椭圆上．

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程及其椭圆的方程；

（Ⅱ）若动直线与轨迹在处的切线平行，且直线与椭圆交于两点，问：是否存在着这样的直线使得的面积等于？如果存在，请求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）轨迹的方程，椭圆的方程为．（Ⅱ）的面积等于的直线不存在．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设过圆心作直线直线的垂线，垂足为，由题意得，即动点到定点的距离与到定直线的距离相等．由抛物线的定义知，点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为． ------3分

设椭圆方程为，将点代入方程得，

整理得，解得或（舍去）．

故所求椭圆的方程为．------------------------6分

（Ⅱ）轨迹的方程为即，则，---------------7分

所以轨迹在处的切线的斜率为，故直线的斜率为， 假设符合题意的直线方程为． --------8分

代入椭圆方程化简得，设，，，，，-----------------9分

故，------------------------10分

又点到直线的距离是， --------------------11分

故-------------------13分

当且仅当，即取得等号（满足）．--------------14分

此时的面积等于，

所以的面积等于的直线不存在．--------------15分

考点：椭圆的简单性质；圆的简单性质；轨迹方程的求法；直线与椭圆的综合应用。

点评：求轨迹方程的一般方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。本题求轨迹方程用到的是定义法。用定义法求轨迹方程的关键是条件的转化——转化成某一已知曲线的定义条件。