Question

已知动圆过定点，且与直线相切．

(1) 求动圆的圆心轨迹的方程；

(2) 是否存在直线，使过点，并与轨迹交于两点，且满足

？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）动点的轨迹方程为；(2) 直线存在，其方程为．

解析:

（1）如图，设为动圆圆心， ，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：，

即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线   的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，  ∴ 动点的轨迹方程为；

（2）由题可设直线的方程为，

由得   

   △，，

设，，则，，

   由，即 ，，于是，

即，，

   ，解得或（舍去），

又，  

∴ 直线存在，其方程为．