题目内容

若x∈[-
5π
12
，-
π
3
]，则y=tan(x+
2π
3
)-tan(x+
π
6
)的最大值为
4
3
3
4
3
3
．
分析：将所求式子第二项根据cot（x+
2π
3
）=cot[
π
2
+（x+
π
6
）]=tan（x+
π
6
）变形，再利用同角三角函数间的基本关系将两项切化弦，通分并利用同分母分数的加法法则计算，分子利用同角三角函数间的基本关系化简，分母利用二倍角的正弦函数公式化简，分母化为一个角的正弦函数，分子化为常数，由x的范围求出这个角的范围，根据正弦函数的增减性得出正弦函数的最小值，即可得到y的最大值．
解答：解：y=tan（x+
2π
3
）-tan（x+
π
6
）
=tan（x+
2π
3
）-cot（x+
2π
3
）
=
sin2(x+
2π
3
)+cos2(x+
2π
3
)
sin(x+
2π
3
)cos(x+
2π
3
)

=
2
sin(2x+
4π
3
)
，
∵x∈[-
5π
12
，-
π
3
]，∴2x+
4π
3
∈[
π
2
，
2π
3
]，
此时正弦函数为减函数，
∴当x=-
π
3
，即2x+
4π
3
=
2π
3
时，sin（2x+
4π
3
）最小值为
3
2
，
则y的最大值为
2
3
2
=
4
3
3
．
故答案为：
4
3
3
点评：此题考查了诱导公式，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，将所求式子进行适当的变形是本题的突破点．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=2
3
sinx•cosx+cos2x-sin2x-1（x∈R）
（Ⅰ）求函数y=f（x）的周期和递增区间；
（Ⅱ）若x∈[-
5π
12
，
π
3
]，求f（x）的取值范围．
若x∈(-
5π
12
， -
π
3
)，则y=tan（x+
2π
3
）-tan（x+
π
6
）+cos（x+
π
6
）最大值是（　　）
（2012•黄浦区二模）已知函数f(x)=2
3
sinx•cosx+cos2x-1(x∈R)．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[-
5π
12
，
π
3
]，求f（x）的取值范围．
若x∈(-
5π
12
， -
π
3
)，则y=tan（x+
2π
3
）-tan（x+
π
6
）+cos（x+
π
6
）最大值是（　　）
A．
12
2
5
B．
11
2
6
C．
11
3
6
D．
12
3
5

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