Question

已知函数f（x）=2

3

sinx•cosx+cos²x-sin²x-1（x∈R）
（Ⅰ）求函数y=f（x）的周期和递增区间；
（Ⅱ）若x∈[-

5π

12

，

π

3

]，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用倍角公式和两角差的正弦公式化简解析式，再求出函数的最小正周期，根据正弦函数的增区间，求出此函数的增区间；
（II）由x的范围求出相位的范围，再由正弦函数的性质求出函数的最大值和最小值．

解答：解：（1）由题设f（x）=2

3

sinx•cosx+cos²x-sin²x-1
=

3

sin2x+cos2x-1
=2sin(2x+

π

6

)-1，
则y=f（x）的最小正周期为：π．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈z）得
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，
∴y=f（x）的单调递增区间为：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈z），
（2）由x∈[-

5π

12

，

π

3

]，可得-

2π

3

≤2x+

π

6

≤

5π

6

考察函数y=sinx，易知-1≤sin(2x+

π

6

)≤1
于是-3≤2sin(2x+

π

6

)-1≤1．  
故y=f（x）的取值范围为：[-3，1]．

点评：本题考查了倍角公式和两角差的正弦公式，正弦函数的性质应用，属于中档题，