题目内容

（2012•黄浦区二模）已知函数f(x)=2
3
sinx•cosx+cos2x-1(x∈R)．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[-
5π
12
，
π
3
]，求f（x）的取值范围．
分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式为f(x)=2sin(2x+
π
6
)-1，由2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
，k∈Z求得x的范围，即可求得函数y=f（x）的单调增区间
（2）根据x∈[-
5π
12
，
π
3
]，求出-
2π
3
≤2x+
π
6
≤
5π
6
，结合图象得到-1≤sin(2x+
π
6
)≤1，从而求得函数f（x）的取值范围．
解答：解（1）∵f(x)=2
3
sinx•cosx+cos2x-1，
∴f(x)=2sin(2x+
π
6
)-1．（2分）
解2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
，k∈Z，得kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
，k∈Z．
∴函数y=f（x）的单调增区间是[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]，k∈Z．   　　　　　　 （6分）
（2）∵x∈[-
5π
12
，
π
3
]，
∴-
2π
3
≤2x+
π
6
≤
5π
6
．          （7分）
考察函数y=sinx，易知，-1≤sin(2x+
π
6
)≤1，（8分）
∴-3≤2sin(2x+
π
6
)-1≤1，
∴函数f（x）的取值范围是[-3，1]．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的单调性、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
练习册系列答案
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（2012•黄浦区二模）已知α、β∈（0，
π
2
），若cos（α+β）=
5
13
，sin（α-β）=-
4
5
，则cos2α=
63
65
63
65
．
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2
2
．
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①当且仅当a=0时，f（x）是偶函数；
②函数f（x）一定存在零点；
③函数在区间（-∞，a]上单调递减；
④当0＜a＜1时，函数f（x）的最小值为a-a2．
那么所有真命题的序号是
①④
①④
．
（2012•黄浦区二模）函数f（x）=log
1
2
(2x+1)的定义域为
（-
1
2
，+∞）
（-
1
2
，+∞）
．

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