Question

【题目】已知以F为焦点的抛物线C：y2=2px（p＞0）上的两点A，B满足 =3 ，若弦AB的中点到准线的距离为 ，则抛物线的方程为 ．

Answer 1

【答案】y2=8x
【解析】解：抛物线C：y2=2px的焦点F（ ，0），

由题意可知直线AB的斜率显然存在，且不为0，设直线AB的方程y=k（x﹣ ），

设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x，y），

=（ ﹣x1，﹣y1）， =（x2﹣ ，y2），由 =3 ，

则 ﹣x1=3（x2﹣ ），则3x2+x1=2p，①

，整理得：k2x2﹣（k2+2）px+ =0，

由韦达定理可知：x1+x2= ，②x1x2= ，③

由①②解得：x1= ，x2= ，

代入③，解得：k2=3，

则x= = ，M到准线的距离d=x+ = ，

∴ = ，解得：p=4，

∴抛物线的方程为y2=8x．

所以答案是：y2=8x．