Question

【题目】已知抛物线y2=4x的焦点F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则4|FA|+|FB|的最小值为 ．

Answer 1

【答案】9
【解析】解：抛物线的焦点为F（1，0），（1）若直线与x轴垂直，则直线方程为x=1，

代入抛物线方程得y=±2，

∴|FA|=|FB|=2，

∴4|FA|+|FB|=10．（2）若直线与x轴不垂直，显然直线有斜率，

设直线方程为y=k（x﹣1），

联立方程组 ，消元得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1x2=1，即x2= ，

∵A，B在抛物线上，∴|FA|=x1+1，|FB|=x2+1= ，

∴4|FA|+|FB|=4x1+4+ +1=4x1+ +5≥2 +5=9．

当且仅当4x1= 即x1= 时取等号．

综上，4|FA|+|FB|的最小值为9．

所以答案是：9．