Question

【题目】已知函数f（x）=（x+a）lnx在x=1处的切线方程为y=x﹣1．
（Ⅰ）求a的值及f（x）的单调区间；
（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C，设点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是曲线C上不同的两点，如果在曲线C上存在点M（x0 ， y0），使得①x0= ；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试证明：函数f（x）不存在“中值相依切线”．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=（x+a）lnx，得f′（x）=lnx+ ．

∴f′（1）=1+a，又f（1）=0，

∴函数f（x）=（x+a）lnx在x=1处的切线方程为y=（1+a）（x﹣1）=（1+a）x﹣1﹣a．

∴1+a=1，得a=0．

则f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1．

由f′（x）=lnx+1=0，得x= ．

∴当x∈ 时，f′（x）＜0，当x∈ 时，f′（x）＞0．

∴f（x）在 上单调递减，在 上单调递增；

（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．

设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，

则y1=x1lnx1，y2=x2lnx2．

．

由f（x）=xlnx的导数为f′（x）=1+lnx，

可得1+ln = = ，

整理得： ，

令 （t＞1），则 ．

令g（t）= （t＞1），

则g′（t）= ，

令h（t）=2t﹣2﹣tlnt﹣lnt，h′（t）=2﹣lnt﹣1﹣ =1﹣lnt﹣ ，

再令r（t）=1﹣lnt﹣ ，

则r′（t）= ＜0，∴r（t）单调递减，

由r（1）=0，∴h′（t）＜0，得h（t）单调递减，

又h（1）=0，∴h（t）＜0，即g′（t）＜0在（1，+∞）上恒成立．

可得g（t）在（1，+∞）上单调递减，则g（t）＜g（1）=﹣ln2．

∴ 不成立，

故假设错误，函数f（x）不存在“中值相依切线”．

【解析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到函数在x=1处的切线方程，结合已知切线方程求得a值，进一步求得函数的单调区间；（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，则y1=x1lnx1，y2=x2lnx2．求出kAB及f′（ ）．由题意列等式可得1+ln = = ，整理得： ，令 （t＞1）换元，则 ．令g（t）= （t＞1），利用导数求得g（t）的最小值小于1﹣ln2，说明计算错误，函数f（x）不存在“中值相依切线”．