Question

已知A，B两点分别在直线y=

x

2

与y=-

x

2

上，且|AB|=2

2

，又点P为AB的中点．
（1）求点P的轨迹方程．
（2）若不同三点D（-2，0），S，T均在P的轨迹上，且

DS

•

ST

=0，求T点横坐标x_T的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出A，B的坐标，利用点P为AB的中点，确定坐标之间的关系，根据|AB|=2

2

，建立方程，化简，即可求点P的轨迹方程．
（2）直线DS、ST分别代入椭圆方程，求出T点横坐标，利用基本不等式，即可求T点横坐标x_T的取值范围．

解答：解：（1）设A（m，

m

2

），B（n，-

n

2

），则|AB|=

(m-n)2+ (m+n)2 2

=2

2

．
设P（x，y），则

m+n=2x m-n 2 =2y

，∴

(2 2 y)2+ 4x2 2

=2

2

，
化简可得y2+

x2

4

=1；
（2）设S（x₁，y₁），直线DS为y=k（x+2），代入椭圆方程，整理可得（1+4k²）x²+16k²x+4k²-1=0，则xD+x1=

-16k2

1+4k2

∴x1=

2-8k2

1+4k2

，y1=

4k

1+4k2

，
则直线ST为y=-

1

k

（x-x₁）+y₁，化简为y=-

x

k

+

2-4k2

4k(1+4k2)

，
代入椭圆方程可得(1+

4

k2

)x2+

32k2-16

k2(1+4k2)

x+

4(2-4k2)2

k2(1+4k2)2

-4=0，
∴x₁+x_T=

16-32k2

(4+k2)(1+4k2)

，
∴xT=

16-32k2

(4+k2)(1+4k2)

-

2-8k2

1+4k2

=2-

36k2

4k4+17k2+4

（因为三点不同，易知k≠0）=2-

36k2

4k4+17k2+4

=

36

4(k2+ 1 k2 )+17

≥2-

36

25

=

14

25

∴x_T的取值范围为[

14

25

，+∞）．

点评：本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．