Question

【题目】已知函数，其中．

（1）当时，求的最小值；

（2）设函数恰有两个零点，且，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) ； (2)

【解析】

（1）当时，利用指数函数和二次函数的图象与性质，得到函数的单调性，即可求得函数的最小值；

（2）分段讨论讨论函数在相应的区间内的根的个数，函数在时，至多有一个零点，函数在时，可能仅有一个零点，可能有两个零点，分别求出的取值范围，可得解．

（1）当时，函数，

当时，，由指数函数的性质，可得函数在上为增函数，且；

当时，，由二次函数的性质，可得函数在上为减函数，在上为增函数，

又由函数， 当时，函数取得最小值为；

故当时，最小值为．

（2）因为函数恰有两个零点，所以

（ⅰ）当时，函数有一个零点，令得，

因为时，，所以时，函数有一个零点，设零点为且，

此时需函数在时也恰有一个零点，

令，即，得，令，

设，，

因为，所以，，，

当时，，所以，即，所以在上单调递增；

当时，，所以，即，所以在上单调递减；

而当时，，又时，，所以要使在时恰有一个零点，则需，

要使函数恰有两个零点，且，设在时的零点为，

则需，而当时，，

所以当时，函数恰有两个零点，并且满足；

（ⅱ）若当时，函数没有零点，函数在恰有两个零点 ，且满足，也符合题意，

而由（ⅰ）可得，要使当时，函数没有零点，则 ，

要使函数在恰有两个零点 ，则，但不能满足，

所以没有的范围满足当时，函数没有零点，

函数在恰有两个零点 ，且满足，

综上可得：实数的取值范围为．

故得解.