Question

设函数f(x)=sin

π

2

x，
（Ⅰ）求f（1）+f（2）+…+f（2013）；
（Ⅱ）令g(x)=f(

2

π

x)，若任意α，β∈R，恒有g(α)+g(π+β)=2cos

α+β

2

•sin

α-β

2

，求cos

5π

24

•cos

37π

24

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ），依题意知f（x）是以4为周期的函数，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，从而可求得f（1）+f（2）+…+f（2013）的值；
（Ⅱ）依题意，g（x）=f（

2

π

x）=sinx，g（α）+g（π+β）=sinα-sinβ=2cos

α+β

2

•sin

α-β

2

，从而将所求关系式转化为，cos

5π

24

•cos

37π

24

=

1

2

[g（

11π

6

）+g（π+

5π

4

）]即可求得其值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sin

π

2

x，
∴f（x+4）=sin

π

2

（x+4）=sin（

π

2

x+2π）=sin

π

2

x=f（x），
∴f（x）是以4为周期的函数，
∵f（1）=sin

π

2

=1，f（2）=sinπ=0，f（3）=sin

3π

2

=-1，f（4）=sin2π=0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，又2013=4×503+1，
∴f（1）+f（2）+…+f（2013）=f（1）=1；
（Ⅱ）∵g（x）=f（

2

π

x）=sin[

π

2

•（

2

π

x）]=sinx，
∴g（α）+g（π+β）=sinα+sin（π+α）=sinα-sinβ=2cos

α+β

2

•sin

α-β

2

，
∴cos

5π

24

•cos

37π

24

=sin

7π

24

•cos

37π

24

=

1

2

•2cos

11π 6 + 5π 4

2

•sin

11π 6 - 5π 4

2

=

1

2

[g（

11π

6

）+g（π+

5π

4

）]
=

1

2

（sin

11π

6

+sin

9π

4

）
=

1

2

（-

1

2

+

2

2

）
=

2 -1

4

．

点评：本题考查运用诱导公式化简求值，考查函数的周期性，求得cos

5π

24

•cos

37π

24

=

1

2

[g（

11π

6

）+g（π+

5π

4

）]是难点，突出转化思想与运算能力的考查，属于难题．