Question

（2011•安徽模拟）设函数f(x)=sin(x+

π

6

)+2sin2

x

2

，x∈[0，π]
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f(B)=1，b=1，c=

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把函数解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后，再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x的范围求出这个角的范围，根据正弦函数的值域即可得到f（x）的值域；
（II）把x=B代入第一问化简后的解析式中，令其值等于1，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，
解法一：由b，c及cosB的值，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
解法二：由sinB，b及c的值，利用正弦定理求出sinC的值，进而确定出C的度数，由C的度数得到三角形为直角三角形或等腰三角形，利用勾股定理及等腰三角形的性质得到a的值即可．

解答：解：（I）f(x)=sin(x+

π

6

)+2sin2

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+1-cosx
=

3

2

sinx-

1

2

cosx+1=sin(x-

π

6

)+1，…（3分）
∵x∈[0，π]，
∴x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
则f(x)∈[

1

2

，2]；…（6分）
（II）由f(B)=1，得sin(B-

π

6

)=0，故B=

π

6

…（7分）
解法一：由余弦定理b²=a²+c²-2ac•cosB，
得a²-3a+2=0，解得a=1或2；…（12分）
解法二：由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

，得sinC=

3

2

，C=

π

3

或

2π

3

，
当C=

π

3

，A=

π

2

，从而a=

b2+c2

=2，…（9分）
当C=

2π

3

时，A=

π

6

，又B=

π

6

，从而a=b=1，…（11分）
故a的值为1或2．   …（12分）

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域和值域，正弦、余弦定理，勾股定理及等腰三角形的性质，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．