题目内容
设函数f(x)=sin(ωx+
)(x∈R,ω>0)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的表达式;
(2)若f(x)•f(-x)=
,x∈(
,
),求tanx的值.
π |
4 |
(1)求f(x)的表达式;
(2)若f(x)•f(-x)=
1 |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
分析:(1)由图可知
=
,从而求ω,继而可得f(x)的表达式;
(2)由f(x)•f(-x)=
可求得cos4x=
,结合题意可求得x=
,利用两角和(
+
)的正切即可求得tanx的值
T |
4 |
π |
4 |
(2)由f(x)•f(-x)=
1 |
4 |
1 |
2 |
5π |
12 |
π |
4 |
π |
6 |
解答:解:(1)设函数f(x)的周期为T,
∵
=
-
=
,
∴T=π,
∴ω=2.
∴f(x)=sin(2x+
). …(3分)
(2)∵f(x)•f(-x)=sin(2x+
)sin(
-2x)=sin(2x+
)cos(2x+
)=
,
∴∴sin(4x+
)=
,故cos4x=
,
又x∈(
,
),4x∈(π,2π),
∴x=
,…(9分)
∴tanx=tan
=tan(
+
)=
=
=2+
.…(12分)
∵
T |
4 |
3π |
8 |
π |
8 |
π |
4 |
∴T=π,
∴ω=2.
∴f(x)=sin(2x+
π |
4 |
(2)∵f(x)•f(-x)=sin(2x+
π |
4 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
4 |
1 |
4 |
∴∴sin(4x+
π |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
又x∈(
π |
4 |
π |
2 |
∴x=
5π |
12 |
∴tanx=tan
5π |
12 |
π |
4 |
π |
6 |
tan
| ||||
1-tan
|
1+
| ||||
1-
|
3 |
点评:本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查二倍角的正弦与诱导公式,考查两角和的正切,属于中档题.
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