题目内容

设函数f(x)=sin(ωx+
π
4
)(x∈R,ω>0)
的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的表达式;
(2)若f(x)•f(-x)=
1
4
x∈(
π
4
π
2
)
,求tanx的值.
分析:(1)由图可知
T
4
=
π
4
,从而求ω,继而可得f(x)的表达式;
(2)由f(x)•f(-x)=
1
4
可求得cos4x=
1
2
,结合题意可求得x=
12
,利用两角和(
π
4
+
π
6
)的正切即可求得tanx的值
解答:解:(1)设函数f(x)的周期为T,
T
4
=
8
-
π
8
=
π
4

∴T=π,
∴ω=2.
∴f(x)=sin(2x+
π
4
).     …(3分)
(2)∵f(x)•f(-x)=sin(2x+
π
4
)sin(
π
4
-2x)=sin(2x+
π
4
)cos(2x+
π
4
)=
1
4

∴∴sin(4x+
π
2
)=
1
2
,故cos4x=
1
2

又x∈(
π
4
π
2
),4x∈(π,2π),
∴x=
12
,…(9分)
∴tanx=tan
12
=tan(
π
4
+
π
6
)=
tan
π
4
+tan
π
6
1-tan
π
4
•tan
π
6
=
1+
3
3
1-
3
3
=2+
3
.…(12分)
点评:本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查二倍角的正弦与诱导公式,考查两角和的正切,属于中档题.
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