题目内容
设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，-
＜φ＜
)，给出以下四个论断：
①它的图象关于直线x=
对称；
②它的图象关于点(
，0)对称；
③它的周期是π；
④在区间[0，
)上是增函数．
以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的命题：
条件
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
①它的图象关于直线x=
| π |
| 12 |
②它的图象关于点(
| π |
| 3 |
③它的周期是π；
④在区间[0，
| π |
| 6 |
以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的命题：
条件
①③
①③
结论②
②
；（用序号表示）分析：先由③知ω=2，再由对称轴，可得函数解析式，然后判断对称性和单调性是否成立即可．
解答：解：若③函数的周期是π，则可得ω=2，
所以f（x）=sin（2x+φ），
若①图象关于直线x=
对称，则2×
+φ=kπ+
，解得φ=kπ+
，
因为-
＜φ＜
，所以φ=
．
所以f(x)=sin(2x+
)，
由2kπ≤2x+
≤2kπ+
，得kπ-
≤x≤kπ+
，
即函数单调区间[kπ-
，kπ+
]（k∈z），
因为当k=0时，单调区间为[-
，
]．
所以在区间[0，
)上函数不是增函数，所以④不正确．
当x=
时，f(
)=sin?(2×
+
)=sin?π=0，所以它的图象关于点(
，0)对称，所以②正确．
所以①③⇒②．
故答案为：条件①③，结论②．
所以f（x）=sin（2x+φ），
若①图象关于直线x=
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
因为-
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
所以f(x)=sin(2x+
| π |
| 3 |
由2kπ≤2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
即函数单调区间[kπ-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
因为当k=0时，单调区间为[-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
所以在区间[0，
| π |
| 6 |
当x=
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
所以①③⇒②．
故答案为：条件①③，结论②．
点评：本题主要考查三角函数的性质，考查学生分析问题的能力，综合性较强．
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