Question

16．已知△ABC的三内角A，B，C依次构成等差数列，则cosA+cosC的取值范围为（$\frac{1}{2}$，1]．

Answer 1

分析 根据题意求出B=$\frac{π}{3}$，再用A表示出C，利用两角和与差的余弦公式即可求出cosA+cosC的取值范围．

解答 解：∵△ABC的三内角A，B，C成等差数列，
∴2B=A+C，
又A+B+C=π，
∴3B=π，即B=$\frac{π}{3}$；
∴C=$\frac{2π}{3}$-A，A∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴cosA+cosC=cosA+cos（$\frac{2π}{3}$-A）
=cosA+（-$\frac{1}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA）
=$\frac{1}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA
=cos（A-$\frac{π}{3}$）；
由A∈（0，$\frac{2π}{3}$），得A-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$），
∴cos（A-$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]；
即cosA+cosC的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1]．
故答案为：（$\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题考查了三角函数的取值范围问题，把问题转化为关于角A的三角函数是解决问题的关键，属中档题．