Question

如图，在四棱锥中，底面，底面是平行四边形，， 是 的中点。

（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求二面角 的余弦值．

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

试题分析：（1）连接AC交BD于F，连接EF，由ABCD是平行四边形，知F为AC的中点，由E为SC的中点，知SA∥EF，由此能够证明SA∥平面BDE．
（2）由AB=2，AD=，∠BAD=30°，利用余弦定理得BD=1，由AD²+BD²=AB²，知AD⊥BD．由此能够证明AD⊥SB．
（3）以DA为x轴，以DB为y轴，以DS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出二面角E-BD-C的余弦值．
试题解析：（1）证明：连接AC交BD于F，连结EF，由ABCD是平行四边形，知F为AC的中点，又E为SC的中点，所以SA∥EF，∵SAË平面BDE，EFÌ平面BDE，
∴SA∥平面BDE．     4分
（2）由AB＝2，AD＝，∠BAD＝30°，由余弦定理得

∵　　　∴AD⊥BD．
∵SD⊥平面ABCD，ADÌ平面ABCD，
∴AD⊥SD，
∴AD⊥平面SBD，又SBÌ平面SBD，
∴AD⊥SB．     8分
（3）取CD的中点G，连结EG，FG，

则EG⊥平面BCD，且EG＝1，FG∥BC，且FG＝
∵AD⊥BD, AD∥BC，∴FG⊥BD，又∵EG⊥BD ∴BD⊥平面EFG，
∴BD⊥EF，故∠EFG是二面角E—BD—C的平面角
在Rt△EFG中  
∴.     12分