Question

17．已知关于x的方程ax²-2（a+3）x+a+7=0的所有实根介于-2和2之间（不包括-2和2），求a的取值范围．

Answer 1

分析 设f（x）=ax²-2（a+3）x+a+7，则由题意利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质求得a的取值范围．

解答 解：设f（x）=ax²-2（a+3）x+a+7，显然当a=0时，方程即-6x+7=0，求得x=$\frac{7}{6}$，满足条件．
当a≠0时，则由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{{△=[-2（a+3）]}^{2}-4a（a+7）≥0}\\{a≠0}\\{-2＜\frac{a+3}{a}＜2}\\{f（-2）•f（2）=（9a+19）（a-5）＞0}\end{array}\right.$，
求得a＜-$\frac{19}{9}$或 5＜a≤9．
综上，a的取值范围为a＜-$\frac{19}{9}$或 5＜a≤9或a=0．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．