题目内容

已知数列{a_n}满足a $数学公式$ ，且对任意n∈N⁺，都有 $数学公式$ ．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_n•a_n+1，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求证： $数学公式$ ．

（1）解：∵ $\text{[math]}$ ，
∴2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1
∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴数列{ $\text{[math]}$ }是以 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公差的等差数列
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ；
（2）证明： $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（1）对数列递推式化简，可得数列{ $\text{[math]}$ }是以 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公差的等差数列，由此可得求{a_n}的通项公式；
（2）利用裂项法求数列的和，即可证得结论．
点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的通项公式，考查裂项法求数列的和，考查不等式的证明，正确确定数列的通项是关键．

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