设A.B分别是直线$y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$和$y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$上的动点.且$|AB|=2\sqrt{2}$．设O为坐标原点.动点P满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$．(Ⅰ) 求动点P的轨迹方程C1,(Ⅱ)一直双曲线C2以C1的上顶点为焦点.且一条� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

9．设A，B分别是直线$y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$和$y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$上的动点，且$|AB|=2\sqrt{2}$．设O为坐标原点，动点P满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程C₁；
（Ⅱ）一直双曲线C₂以C₁的上顶点为焦点，且一条渐近线方程为x+2y=0，求双曲线C₂的方程．

分析（Ⅰ）设$A（{x_1}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}{x_1}），B（{x_2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}{x_2}）$，由$|AB|=2\sqrt{2}$，得（x₁-x₂）²+$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）²=8…①设P（x，y），由$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$．则$\left\{\begin{array}{l}x={x_1}+{x_2}\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{x_1}-{x_2}）\end{array}\right.$代入中①整理得动点P的轨迹方程C₁
（Ⅱ）设双曲线方程为$\frac{y^2}{m^2}-\frac{x^2}{n^2}=1$，由（Ⅰ）知，椭圆上顶点（0，2），所以m²+n²=4，由m+2n=0得${m^2}=\frac{4}{5}$，${n^2}=\frac{16}{5}$即可．

解答解：（Ⅰ）设$A（{x_1}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}{x_1}），B（{x_2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}{x_2}）$，
∵$|AB|=2\sqrt{2}$，∴（x₁-x₂）²+$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）²=8…①
设P（x，y），∵$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$．则$\left\{\begin{array}{l}x={x_1}+{x_2}\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{x_1}-{x_2}）\end{array}\right.$
代入中①整理得：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
动点P的轨迹方程C₁：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（Ⅱ）设双曲线方程为$\frac{y^2}{m^2}-\frac{x^2}{n^2}=1$，
由（Ⅰ）知，椭圆上顶点（0，2），
所以m²+n²=4，由x+2y=0得$y=\frac{1}{2}x$，∴$\frac{m}{n}=\frac{1}{2}$，
解得${m^2}=\frac{4}{5}$，${n^2}=\frac{16}{5}$
所以，双曲线方程为$\frac{{5{y^2}}}{4}-\frac{{5{x^2}}}{16}=1$．

点评本题考查了相关点法求轨迹方程，及已知双曲线渐近线求双曲线方程的方法，属于中档题．

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