Question

【题目】设函数.

（1）若函数有两个不同的极值点，求实数的取值范围；

（2）若，，，且当时，不等式恒成立，试求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）4.

【解析】

（1）求出函数的导数，得到a，令h（x），根据函数的单调性求出a的范围即可；

（2）代入a的值，问题转化为k，令F（x）（x＞2），求出函数的导数，根据函数的单调性求出k的最大值即可．

（1）由题意知，函数的定义域为，

，令，∴，.

令，则由题意可知：直线与函数的图像有两个不同的交点.，令则.

在上单调递增，在上单调递减，，

又因为，在上递增，当，；又当，.

∴，又在递减.当，，结合，，图像易得.

实数的取值范围为.

（2）当时，.

即：，

∵，∴.

令，则.

令.则.

∴在上单调递增.

..

∴函数在上有唯一零点，即：.

∴时，.即.

当时，，

∴，

∴，∵，∴，∴的最大值为4.