Question

【题目】已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为2，分别为椭圆的左，右焦点，分别为椭圆的左，右顶点，设点在第一象限，且轴，连接交椭圆于点，直线的斜率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若三角形的面积等于四边形的面积，求的值；

（Ⅲ）设点为的中点，射线（为原点）与椭圆交于点，满足，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

（I）根据抛物线的准线求得，根据短轴长求得，由此求得，进而求得椭圆方程.（II）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，求得点的坐标，令求得点坐标.利用三角形的面积公式计算出和的面积，根据题目已知条件，这两个三角形的面积相等，由此列方程，解方程求得的值.（III）根据（II）求得点坐标，由此求得的斜率，设所在直线方程为，代入椭圆方程，求得点坐标，计算出到直线的距离，的长度，化简得到，利用列方程，解方程求得的值.

解：（Ⅰ）由已知得，，故，椭圆方程为：，

（Ⅱ）设直线方程为∴

∴∴

∴，令∴

∴

∴

∵∴

（Ⅲ）由（II）和中点坐标公式，得，设所在直线方程为，则

，∴∴，

到直线的距离：，，

∴

即，

，化简得，

∵，∴.