Question

若数列{a_n}满足an+1=1-

1

an

，a₁=2，则a₂₀₀₉=

1

2

．

Answer 1

分析：先由an+1=1-

1

an

，可推得数列的周期，利用数列的周期性可求得答案．

解答：解：由an+1=1-

1

an

，得
an+3=1-

1

an+2

=1-

1

1- 1 an+1

=1-

an+1

an+1-1

=1-

1- 1 an

1- 1 an -1

=1-

an-1

-1

=a_n，
∴3是数列{a_n}的周期，
又a2=1-

1

a1

=1-

1

2

=

1

2

，
∴a₂₀₀₉=a_3×669+2=a₂=

1

2

，
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查由数列递推式求数列的项，考查数列的函数特性，解决本题的关键是由递推式推导数列周期．