Question

15．A，B，C，D是同一球面上的四个点，$△ABC中，∠BAC=\frac{π}{2}，AB=AC$，AD⊥平面ABC，AD=6，$AB=2\sqrt{3}$，则该球的表面积为60π．

Answer 1

分析 由题意把A、B、C、D扩展为三棱柱，求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，然后求出球的表面积

解答 解：由题意画出几何体的图形如图，
把A、B、C、D扩展为三棱柱，
上下底面中心F、E连线的中点O与A的距离为球的半径，
AD=6，AB=AC=2$\sqrt{3}$，OE=3，△ABC是等腰直角三角形，
E是BC中点，AE=$\frac{1}{2}BC=\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{6}$，
∴球半径AO=$\sqrt{A{E}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{6+9}=\sqrt{15}$．
所求球的表面积S=4π（$\sqrt{15}$）²=60π．
故答案为：60π．

点评 本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．