Question

已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则双曲线C的离心率为    ．

Answer 1

【答案】分析：设直线AB的方程为y=（x-c），与双曲线方程消去x并化简得（-a²）y²+b²cy+b⁴=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根与系数的关系得到y₁+y₂=，y₁y₂=．由于，得到y₁=-4y₂代入上式消去y₂得关于a、b、c的等式，结合b²=c²-a²解之得c=，再结合双曲线的离心率公式即可算出题中双曲线C的离心率．
解答：解：∵直线AB过点F（c，0），且斜率为
∴直线AB的方程为y=（x-c）
与双曲线消去x，得（-a²）y²+b²cy+b⁴=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=，y₁y₂=
∵，可得y₁=-4y₂
∴代入上式得-3y₂=，-4y₂²=
消去y₂并化简整理，得
将b²=c²-a²代入化简，得，解之得c=
因此，该双曲线的离心率e=
故答案为：
点评：本题给出双曲线的斜率为的焦点弦被焦点分成1：4的两部分，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．