Question

已知数列{a_n}满足a₁=-1，a_n+1=

(3n+3)an+(4n+6)

n

，数列{b_n}满足b_n=

an+2

n

．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}为等比数列并求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{c_n}的前n项的和为S_n，且c_n=

3n-1

an+2

．求证：n≥2时，

S

2 n

＞2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比关系的确定,数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意得a_n+1+2=

(3n+3)an+(4n+6)

n

+2=

(3n+3)an+(6n+6)

n

，故

an+1+2

n+1

=

3(an+2)

n

，即b_n+1=3b_n，由等比数列的定义即可得证；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n+2=n•3^n-1，c_n=

3n-1

an+2

=

1

n

，

s

2 n

-

s

2 n-1

=（s_n+s_n-1）（s_n-s_n-1）=

1

n

（s_n+s_n-1）=

1

n

（s_n+s_n-

1

n

）=2•

sn

n

-

1

n2

，利用累加法求得

s

2 n

=2（

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

）+1-（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

），由

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

＜1，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：∵a_n+1=

(3n+3)an+(4n+6)

n

，
∴a_n+1+2=

(3n+3)an+(4n+6)

n

+2=

(3n+3)an+(6n+6)

n

，
∴

an+1+2

n+1

=

3(an+2)

n

，即b_n+1=3b_n，
∴数列{b_n}是首项为b₁=a₁+2=1，以3为公比的等比数列，
∴b_n=3^n-1．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得a_n+2=n•3^n-1，∴c_n=

3n-1

an+2

=

1

n

，
∴

s

2 n

-

s

2 n-1

=（s_n+s_n-1）（s_n-s_n-1）=

1

n

（s_n+s_n-1）=

1

n

（s_n+s_n-

1

n

）=2•

sn

n

-

1

n2

，
同理

s

2 n-1

-

s

2 n-2

=2•

sn-1

n-1

-

1

(n-1)2

，…

s

2 2

-

s

2 1

=2•

s2

2

-

1

22

，
由累加法可得

s

2 n

-

s

2 1

=2（

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

）-（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）
又s₁=1，∴

s

2 n

=2（

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

）+1-（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

），
∴要证

S

2 n

＞2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)．只需证1-（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＞0，
即证

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1，
∵

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

＜1，
∴n≥2时，

S

2 n

＞2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)．

点评：本题属于数列综合性问题，主要考查等比数列的定义及累加法求数列的通项公式，裂项法求数列的和等知识，综合性强，属于难题．