Question

已知点M与两个定点E（8，0），F（5，0）的距离之比等于2，设点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx与曲线C相交于不同的两点A、B．
（1）求k的取值范围；
（2）分别取k=0及k=，在弦AB上，确定点Q的坐标，使（|OA|＜|OB|）成立．由此猜想出一般结论，并给出证明．

Answer 1

【答案】分析：（I）设出动点M的坐标，然后根据点M与两个定点E（8，0），F（5，0）的距离之比等于2，利用两点之间的距离公式，整理后，即可得到曲线C的方程；
（II）（1）结合（I）的结论，直线l：y=kx与曲线C相交于不同的两点A、B，则直线与圆相交，则圆心到直线的距离小于半径，由此构造关于k的方程，即可得到答案．
（2）将k=0及k=代入，求出满足条件的Q的坐标，分析后可猜想Q在直线x=3上．则我们可以联立方程，求出满足条件的直线方程，验证是否为直线x=3；
解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意有：，
∴，（2分）
整理得曲线C的方程为（x-4）²+y²=4．（4分）
解：（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，要使线l：y=kx与曲线C相交于不同的两点，只需曲线C的圆心（4，0）到直线l的距离小于圆的半径2．
∴，
解得，．（7分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），则有0＜x₁＜x＜x₂．
当k=0时，A（2，0），B（6，0），
由知，，
∴x=3，即点Q的坐标为（3，0）．（8分）
当k=时，由
得方程5x²-32x+48=0，∴，
由知，，
整理得，∴
∴即点Q的坐标为（3，）．（10分）
猜想，点Q在直线x=3上．（11分）
证明如下：
方法1，由
得（1+k²）x²-8x+12=0，（12分）
∴①，②
由知，，
整理得
即点Q在定直线上，这条直线的方程是x=3．（15分）
点评：本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，其中利用坐标法求了满足条件的动点M的轨迹C是解答本题的关键．