Question

已知点M与两个定点E（8，0），F（5，0）的距离之比等于2，设点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx与曲线C相交于不同的两点A、B．
（1）求k的取值范围；
（2）分别取k=0及k=

1

2

，在弦AB上，确定点Q的坐标，使

|AQ|

|QB|

=

|OA|

|OB|

（|OA|＜|OB|）成立．由此猜想出一般结论，并给出证明．

Answer 1

分析：（I）设出动点M的坐标，然后根据点M与两个定点E（8，0），F（5，0）的距离之比等于2，利用两点之间的距离公式，整理后，即可得到曲线C的方程；
（II）（1）结合（I）的结论，直线l：y=kx与曲线C相交于不同的两点A、B，则直线与圆相交，则圆心到直线的距离小于半径，由此构造关于k的方程，即可得到答案．
（2）将k=0及k=

1

2

代入，求出满足条件的Q的坐标，分析后可猜想Q在直线x=3上．则我们可以联立方程，求出满足条件的直线方程，验证是否为直线x=3；

解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意有：

|ME|

|MF|

=2，
∴

(x-8)2+y2

(x-5)2+y2

=2，（2分）
整理得曲线C的方程为（x-4）²+y²=4．（4分）
解：（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，要使线l：y=kx与曲线C相交于不同的两点，只需曲线C的圆心（4，0）到直线l的距离小于圆的半径2．
∴

|4k|

k2+1

＜2，
解得，-

3

3

＜k＜

3

3

．（7分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），则有0＜x₁＜x₀＜x₂．
当k=0时，A（2，0），B（6，0），
由

|AQ|

|QB|

=

|OA|

|OB|

知，

x0-2

6-x0

=

2

6

，
∴x₀=3，即点Q的坐标为（3，0）．（8分）
当k=

1

2

时，由

y= 1 2 x (x-4)2+y2=4

得方程5x²-32x+48=0，∴x1+x2=

32

5

，x1x2=

48

5

由

|AQ|

|QB|

=

|OA|

|OB|

知，

x0-x1

x2-x0

=

x1

x2

，
整理得x0=

2x1x2

x1+x2

=3，∴y0=

3

2

∴即点Q的坐标为（3，

3

2

）．（10分）
猜想，点Q在直线x=3上．（11分）
证明如下：
方法1，由

y=kx (x-4)2+y2=4

得（1+k²）x²-8x+12=0，（12分）
∴x1+x2=

8

1+k2

①，x1x2=

12

1+k2

②
由

|AQ|

|QB|

=

|OA|

|OB|

知，

x0-x1

x2-x0

=

x1

x2

，
整理得x0=

2x1x2

x1+x2

=3
即点Q在定直线上，这条直线的方程是x=3．（15分）

点评：本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，其中利用坐标法求了满足条件的动点M的轨迹C是解答本题的关键．