题目内容

（2009•浦东新区二模）已知
i
=(1，0)，
c
=(0，
2
)，若过定点A(0，
2
)、以
i
-λ
c
（λ∈R）为法向量的直线l1与过点B(0，-
2
)以
c
+λ
i
为法向量的直线l2相交于动点P．
（1）求直线l1和l2的方程；
（2）求直线l1和l2的斜率之积k1k2的值，并证明必存在两个定点E，F，使得|
PE
|+|
PF
|恒为定值；
（3）在（2）的条件下，若M，N是l：x=2
2
上的两个动点，且
EM
•
FN
=0，试问当|MN|取最小值时，向量
EM
+
FN
与
EF
是否平行，并说明理由．
分析：（1）根据所给直线上的定点坐标以及法向量，即可写出两直线方程．
（2）根据（1）中所求直线l1和l2的方程，可分别求出两直线的斜率，再计算k1k2，为定值
1
2
，再用p点坐标表示k1k2，与前面所求k1k2的值相等，即可得到P点的轨迹方程．为椭圆，根据椭圆定义，可知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为定植，所以必存在两个定点E，F，使得|
PE
|+|
PF
|恒为定值．
（3）因为M，N的横坐标相同，设出它们的纵坐标，先把|MN|用M，N的纵坐标表示，根据且
EM
•
FN
=0，求出M，N纵坐标的关系式，代入|MN|，即可求出|MN|的最小值，以及相应的M，N纵坐标，并据此求出向量
EM
+
FN
的坐标，根据两向量平行的坐标关系，即可判断向量
EM
+
FN
与
EF
是否平行．
解答：解：（1）直线l1的法向量
n1
=( 1 ， -
2
λ )，l1的方程：x-
2
λ ( y-
2
 )=0，
即为x-
2
λy+2λ=0；
直线l2的法向量
n1
=( λ ， 
2
 )，l2的方程：λx+
2
 ( y+
2
 )=0，
即为λx+
2
y+2=0． 
（2）k1k2=
1
2
λ
•( -
λ
2
 )=-
1
2
．   
设点P的坐标为（x，y），由k1k2=
y-
2
x
•
y+
2
x
=-
1
2
，得
x2
4
+
y2
2
=1．
由椭圆的定义的知存在两个定点E、F，使得|
PE
|+|
PF|
恒为定值4．
此时两个定点E、F为椭圆的两个焦点．
（3）设M ( 2
2
 ， y1)，N ( 2
2
 ， y2)，则
EM
=( 3
2
 ， y1)，
FN
=( 
2
 ， y2)，
由
EM
•
FN
=0，得y1y2=-6＜0．
|MN|2=（y1-y2）2=y12+y22-2y1y2≥-2y1y2-2y1y2=-4y1y2=24；
当且仅当
y1=
6
  
y2=-
6
或
y1=-
6
y2=
6
 
时，|MN|取最小值
6
．
EM
+
FN
=( 4
2
 ， y1+y2)=( 4
2
 ， 0 )=2
EF
，故
EM
+
FN
与
EF
平行．
点评：本题主要考查了椭圆定义的应用，以及直线与圆锥曲线相交弦长的求法．
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3
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3
+1
2
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limn→∞
Sn=
16
16
．
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π
π
．
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π
3
)；
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1
2
x，a=2，b=1，生成函数h（x）．若不等式h（4x）+t•h（2x）＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．
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1
x
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（2009•浦东新区二模）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c已知a=2
3
 ， c=2，且
.
sinCsinB0
0b-2c
cosA01
.
=0，求△ABC的面积．

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